HR รีพอร์ต

จาก “Enlightening Symbols” ของ Joseph Mazur

คุณเคยคิดไหมว่า เครื่องหมาย “+” ที่เราใช้กันทุกวันนี้ มันเกิดขึ้นได้อย่างไร? หรือทำไมเราถึงเขียน “2+3=5” แทนที่จะเขียนว่า “สองบวกสามเท่ากับห้า” ล่ะ?

เรื่องราวเหล่านี้ไม่ใช่แค่เรื่องเล็กๆ น้อยๆ แต่เป็นการปฏิวัติครั้งใหญ่ที่เปลี่ยนแปลงวิธีการคิดของมนุษยชาติไปตลอดกาล Joseph Mazur ในหนังสือ “Enlightening Symbols” พาเราย้อนกลับไปดูว่าสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ที่เราคุ้นเคยเหล่านี้ มันมีเรื่องราวอันน่าทึ่งซ่อนอยู่

ยุคมืดของคณิตศาสตร์

ลองนึกภาพดูสิ ถ้าวันนี้เราต้องเขียนโจทย์คณิตศาสตร์แบบนี้:

“จำนวนหนึ่งซึ่งเมื่อยกกำลังสอง แล้วบวกกับสามเท่าของจำนวนนั้น จะได้ผลรวมเท่ากับสิบ จงหาจำนวนนั้น”

แทนที่จะเขียนแค่ x² + 3x = 10

ในยุคโบราณ นักคณิตศาสตร์ต้องเขียนแบบนั้นจริงๆ นะ! พวกเขาต้องใช้คำพูดทั้งหมด ไม่มีสัญลักษณ์ย่อใดๆ เลย การแก้สมการหนึ่งข้ออาจต้องเขียนเป็นหน้าๆ เพียงเพื่ออธิบายขั้นตอนที่เราทำได้ในไม่กี่บรรทัด

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณอย่าง ยูคลิด เขียนหนังสือ “Elements” ซึ่งเป็นตำราเรขาคณิตที่มีชื่อเสียง แต่ในหนังสือนั้นไม่มีสูตรสั้นๆ แบบที่เรารู้จักเลย ทุกอย่างเขียนเป็นประโยคยาวเหยียด

ตัวอย่างเช่น สิ่งที่เราเรียกว่า “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” และเขียนเป็น a² + b² = c² นั้น ในยุคโบราณเขียนว่า:

“ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากทั้งสอง”

จินตนาการดูสิว่า นักเรียนในยุคนั้นต้องจำประโยคยาวๆ แบบนี้ และคิดคำนวณโดยใช้ประโยคเหล่านี้ มันช้าและยุ่งยากแค่ไหน!

กำเนิดของสัญลักษณ์

เครื่องหมายบวกลบ (+, -) ที่เราใช้กันทุกวันนี้ มีต้นกำเนิดมาจากตลาดในเยอรมนีเมื่อ 500 ปีที่แล้ว

ในยุคศตวรรษที่ 15 พ่อค้าชาวเยอรมันใช้เครื่องหมาย “+” เพื่อแสดงว่าสินค้าถุงนั้นมีน้ำหนักเกินจากมาตรฐาน และใช้ “-” เพื่อแสดงว่าสินค้าถุงนั้นมีน้ำหนักน้อยกว่ามาตรฐาน

เดิมทีมันเป็นแค่เครื่องหมายทางการค้า แต่เมื่อนักคณิตศาสตร์ได้เห็น พวกเขาก็คิดว่า “เฮ้ย นี่มันใช้ได้นี่!” และนำมาใช้ในการคำนวณ

คนแรกที่เอาเครื่องหมายเหล่านี้มาใช้ในหนังสือคณิตศาสตร์คือ โยฮันเนส วิดมันน์ (Johannes Widmann) ในปี 1489 ในหนังسือที่ชื่อ “Mercantile Arithmetic” หรือ “คณิตศาสตร์การค้า”

เครื่องหมายเท่ากับ (=)

ปี 1557 คุณหมอชาวเวลส์นาม โรเบิร์ต เรคอร์ด (Robert Recorde) กำลังเขียนหนังสือคณิตศาสตร์ เขาเบื่อมากที่ต้องเขียนคำว่า “เท่ากับ” (is equal to) ซ้ำไปซ้ำมาในทุกสมการ

วันหนึ่ง เขาคิดได้ว่า “ไม่มีสิ่งใดที่เท่ากันมากไปกว่าเส้นขนานสองเส้น” เขาจึงสร้างสัญลักษณ์ “=” ขึ้นมา

แต่เครื่องหมายเท่ากับในสมัยของเรคอร์ดนั้นยาวกว่าที่เราใช้กันตอนนี้มาก มันดูประมาณนี้ ========

เรคอร์ดเขียนในหนังสือว่า: “เพื่อหลีกเลี่ยงการเขียนคำว่า ‘เท่ากับ’ ซ้ำไปซ้ำมา ข้าจะกำหนดให้เส้นคู่ขนานนี้ แทนคำว่าเท่ากับ เพราะไม่มีสิ่งใดเท่ากันมากไปกว่าสองเส้นขนาน”

น่าสนใจมากที่สัญลักษณ์ง่ายๆ นี้ไม่ได้รับการยอมรับทันที ใช้เวลาเกือบ 100 ปีกว่า คนยุโรปจะยอมใช้เครื่องหมาย “=” กันอย่างแพร่หลาย เพราะนักวิชาการในสมัยนั้นชอบใช้คำภาษาลาตินแทน

ศึกเครื่องหมายคูณ: × vs ·

เครื่องหมายคูณเป็นอีกเรื่องราวที่น่าสนใจ เพราะมันมีผู้คิดค้นถึงสองคน และทั้งคู่ไม่ลงรอยกัน!

วิลเลียม โอทเร็ด (William Oughตred) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ คิดเครื่องหมาย “×” ขึ้นมาในปี 1631

แต่ก็อตต์ฟรีด ไลบ์นิซ (Gottfried Leibniz) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ ไม่เห็นด้วยเลย! เขาบอกว่าเครื่องหมาย “×” มันดูคล้ายตัว “x” เกินไป จะทำให้สับสนได้

ไลบ์นิซเลยคิดเครื่องหมาย “·” (จุด) ขึ้นมาแทน เขาเขียนจดหมายไปหานักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ว่า “เครื่องหมาย × มันอันตรายมาก เพราะสับสนกับตัวแปร x ได้”

วันนี้เราเลยมีเครื่องหมายคูณสองแบบ และใช้ทั้งคู่ขึ้นอยู่กับสถานการณ์:

• ใช้ “×” เวลาคูณจำนวนธรรมดา เช่น 5 × 3 = 15
• ใช้ “·” หรือไม่ใช้อะไรเลย เวลามีตัวแปร เช่น 3a หรือ a·b

ระบบเลขฮินดู-อารบิก

การเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ คือการที่ยุโรปได้รับระบบเลขจากอินเดียและโลกอาหรับ

เดิมทียุโรปใช้เลขโรมัน ลองคิดดูว่าการบวกลบคูณหารด้วยเลขโรมันมันยากแค่ไหน:

• MCMLXXIV + CDXLVII = ?
• (1974 + 447 = ?)

การคำนวณเลขโรมันยากมากจนต้องใช้กระดานนับพิเศษที่เรียกว่า “abacus”

แต่เมื่อได้ระบบเลข 0-9 มา ทุกอย่างก็เปลี่ยนไป การบวกลบคูณหารง่ายขึ้นมาก:

• 1974 + 447 = 2421

ที่สำคัญที่สุดคือ เลข “0” (ศูนย์)!

เลข 0 ไม่ใช่แค่ “ไม่มีอะไร” แต่มันคือนวัตกรรมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ เพราะ:

1. ทำให้แสดงตำแหน่งได้ – ในเลข 205 เรารู้ว่าหลักสิบเป็นศูนย์
2. ทำให้เขียนเลขใหญ่ได้ง่าย – 1,000,000 แทนที่จะเป็น M̄ ในเลขโรมัน
3. ทำให้คำนวณได้เร็ว – ลองคูณ 205 × 7 กับ CCV × VII ดูสิ

ระบบเลขนี้เข้ามายุโรปผ่าน Leonardo Fibonacci (ใช่ ผู้คิดค้นลำดับฟิโบนักชี นั่นแหละ) ในปี 1202 ผ่านหนังสือ “Liber Abaci”

พลังของสัญลักษณ์

Joseph Mazur อธิบายว่าสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นแค่ “ตัวอักษรย่อ” แต่มันคือ เครื่องมือคิด ที่ช่วยให้เราคิดได้เร็วและลึกขึ้น

ตัวอย่างจากฟิสิกส์

สูตร E = mc² ของไอน์สไตน์ ถ้าเขียนเป็นคำจะเป็น: “พลังงานเท่ากับมวลคูณกับความเร็วแสงยกกำลังสอง”

แต่เมื่อเราเห็นสูตร E = mc² เราเข้าใจทันทีว่า:

• พลังงานมาจากมวล
• ความสัมพันธ์เป็นสัดส่วน
• ความเร็วแสงมีผลยกกำลังสอง (ใหญ่มาก!)

สูตรนี้ทำให้เราเห็น “ภาพใหญ่” ได้ในพริบตา ซึ่งถ้าเป็นคำพูดจะต้องอ่านและคิดนานกว่า

ตัวอย่างจากพีชคณิต

สมการ (a + b)² = a² + 2ab + b²

ถ้าเขียนเป็นคำ: “กำลังสองของผลบวกของจำนวนสองจำนวน เท่ากับ กำลังสองของจำนวนแรก บวกกับสองเท่าของผลคูณของทั้งสองจำนวน บวกกับกำลังสองของจำนวนที่สอง”

อ่านแล้วงง ใช่ไหม? แต่สูตรสั้นๆ ทำให้เราเห็นรูปแบบและจำได้ง่าย

การต่อสู้เพื่อสัญลักษณ์

สิ่งที่น่าสนใจคือ การยอมรับสัญลักษณ์ใหม่ๆ ไม่ได้ง่ายเลย มักจะมีการต่อสู้และโต้เถียงกันยาวนาน

กรณีเลขยกกำลัง

วิธีเขียนเลขยกกำลังแบบ x² มีวิวัฒนาการที่น่าสนใจ:

เดิมที: “x quadratum” (ภาษาลาติน แปลว่า x กำลังสอง) ต่อมา: “xx” (เขียน x สองตัว) แล้วจึง: “x sq” (ย่อจาก square) ในที่สุด: x² (แบบที่เราใช้ทุกวันนี้)

René Descartes (นักคิดชาวฝรั่งเศสผู้มีชื่อเสียง) เป็นคนแรกที่ใช้วิธีเขียนแบบ x², x³, x⁴ ในปี 1637

สงครามเครื่องหมายหาร

เครื่องหมายหารก็มีเรื่องราวสับสน เพราะมีหลายแบบ:

• ÷ (ใช้ในอเมริกาและอังกฤษ)
• / (ใช้กันทั่วไป)
• : (ใช้ในยุโรปบางประเทศ)

สาเหตุที่มีหลายแบบก็เพราะแต่ละประเทศพัฒนาไปคนละทิศทาง และเมื่อมาเจอกันก็ยืนกราน ใครก็ไม่ยอมเปลี่ยน

ยุคใหม่กับสัญลักษณ์ที่ซับซ้อนขึ้น

เมื่อคณิตศาสตร์ก้าวหน้าขึ้น สัญลักษณ์ก็ต้องซับซ้อนตาม

แคลคูลัส

Isaac Newton และ Gottfried Leibniz (อีกแล้ว!) คิดแคลคูลัสขึ้นมาพร้อมๆ กัน แต่ใช้สัญลักษณ์คนละแบบ:

Newton ใช้: ẋ (x จุด) สำหรับอนุพันธ์ Leibniz ใช้: dx/dt สำหรับอนุพันธ์

วันนี้เราใช้แบบของ Leibniz เพราะมันชัดเจนและใช้ง่ายกว่า

ผลรวมและผลคูณ

เครื่องหมาย Σ (ซิกมา) สำหรับผลรวม และ Π (พาย) สำหรับผลคูณ เป็นนวัตกรรมที่ยิ่งใหญ่

แทนที่จะเขียน: 1 + 2 + 3 + … + 100 เราเขียน: Σ(i=1 to 100) i

มันช่วยให้เราเขียนผลรวมที่ซับซ้อนได้อย่างกระชับ

ผลกระทบต่อการศึกษา

การมีสัญลักษณ์ทำให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์เปลี่ยนไปโดยสิ้นเชิง

ก่อนมีสัญลักษณ์

• ต้องจำนิยามยาวๆ เป็นร้อยๆ ประโยค
• ใช้เวลาคิดนาน
• เรียนได้แค่คนฉลาดมากๆ
• ความรู้แพร่กระจายช้า

หลังมีสัญลักษณ์

• จำสูตรสั้นๆ ได้ง่าย
• คิดและคำนวณเร็วขึ้น
• คนธรรมดาเรียนรู้ได้
• ความรู้แพร่กระจายเร็ว

นี่คือเหตุผลที่ทำให้ยุคเรอเนสซานซ์เป็นต้นมา การพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีก้าวกระโดด เพราะคณิตศาสตร์ใช้ง่ายขึ้น คนเรียนได้มากขึ้น

บทเรียนยุคดิจิทัล

วันนี้เราอยู่ในยุคที่เทคโนโลยีทำให้การใช้สัญลักษณ์คณิตศาสตร์ง่ายขึ้นไปอีก:

• โปรแกรมคอมพิวเตอร์: ใช้สัญลักษณ์ใหม่ๆ เช่น ** สำหรับยกกำลัง (5**2 = 25)
• LaTeX: ระบบเขียนสูตรทางวิทยาศาสตร์
• Wolfram Alpha: ตีความสัญลักษณ์คณิตศาสตร์และแก้โจทย์ได้

แต่หลักการเดิมยังคงอยู่: สัญลักษณ์ที่ดีต้องช่วยให้เราคิดได้เร็วและแม่นยำขึ้น

แห่งความเรียบง่าย

เรื่องราวของสัญลักษณ์คณิตศาสตร์สอนให้เราเห็นบทเรียนสำคัญหลายอย่าง:

1. ความเรียบง่ายคือความยิ่งใหญ่ เครื่องหมาย + – = ดูง่าย แต่มันเปลี่ยนแปลงวิธีคิดของมนุษย์ทั้งโลก

2. นวัตกรรมต้องใช้เวลา สัญลักษณ์ใหม่ๆ มักถูกต่อต้านในช่วงแรก ใช้เวลาหลายสิบปีกว่าจะได้รับการยอมรับ

3. เครื่องมือเปลี่ยนความคิด สัญลักษณ์ไม่ใช่แค่ตัวย่อ แต่เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้เราคิดในแบบใหม่

4. มาตรฐานสำคัญ การที่ทั้งโลกใช้สัญลักษณ์เดียวกัน ทำให้ความรู้แลกเปลี่ยนกันได้ง่าย

5. อดีตเชื่อมโยงปัจจุบัน ทุกครั้งที่เราเขียน 2+2=4 เราใช้มรดกทางปัญญาที่มนุษยชาติสั่งสมมานับพันปี

สัญลักษณ์คณิตศาสตร์ที่ดูธรรมดาเหล่านี้ จึงเป็นหนึ่งในสิ่งประดิษฐ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของมนุษยชาติ มันทำให้เราสามารถสำรวจจักรวาล สร้างเทคโนโลยี และทำความเข้าใจกฎธรรมชาติได้

ครั้งหน้าที่เห็นสูตรคณิตศาสตร์ ลองนึกถึงเรื่องราวที่ซ่อนอยู่ข้างหลัง คิดถึงคนที่สู้ดิ้นเพื่อสร้างสัญลักษณ์เหล่านี้ขึ้นมา และชื่นชมพลังของความเรียบง่ายที่ซ่อนความยิ่งใหญ่ไว้

เพราะในสัญลักษณ์เล็กๆ เหล่านี้ มีเรื่องราวของความคิดสร้างสรรค์ การต่อสู้ และความฝันของมนุษย์ที่อยากเข้าใจโลกใบนี้ให้มากขึ้น

#hrรีพอร์ต